Układy równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego

Definicja 1:

Układem normalnym równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

\( \begin{cases}x_1^\prime(t)=a_{11}(t)x_1(t)+\cdots +a_{1n}(t)x_n(t)+f_1(t)&\\ \hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc \vdots &\\x_n^\prime(t)=a_{n1}(t)x_1(t)+\cdots +a_{nn}(t)x_n(t)+f_n(t)& \end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc \) są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej \( \hskip 0.3pc t\in I,\hskip 0.3pc \) a współczynniki \( \hskip 0.3pc a_{ij}(t)\hskip 0.3pc \) i funkcje \( \hskip 0.3pc f_i(t)\hskip 0.3pc \) są danymi funkcjami określonymi w przedziale \( \hskip 0.3pc I =(a,b)\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) mogą być nieskończonościami.

Definicja 2:

Jeżeli \( \hskip 0.3pc f_i(t)=0,\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc i=1,\ldots, n,\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc t\in I,\hskip 0.3pc \) to układ ( 1 ) nazywamy jednorodnym.

Definicja 3:

Rozwiązaniem układu ( 1 ) nazywamy funkcje \( \hskip 0.3pc x_1,\ldots ,\hskip 0.3pc x_n\hskip 0.3pc \) ciągłe i różniczkowalne w przedziale \( \hskip 0.3pc I,\hskip 0.3pc \) spełniające układ ( 1 ) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I.\hskip 0.3pc \)

Definicja 4:

Warunkiem początkowym dla układu ( 1 ) nazywamy układ równości :

(2)

\( x_1(t_0)=x_{01},\hskip 0.5 pc x_2(t_0)=x_{02},\ldots ,\hskip 0.3pc x_n(t_0)=x_{0n} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc x_{01},\ldots ,\hskip 0.3pc x_{0n}\hskip 0.3pc \) są danymi stałymi, a \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) jest ustalonym punktem przedziału \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \).

Zapis macierzowy układu ( 1 ). Wprowadzając następujące oznaczenia:

\( x(t)= \begin{bmatrix} x_1(t)\\ \vdots \\x_n(t)\end{bmatrix},\hskip 0.3 pc A(t)=\begin{bmatrix} a_{11}(t)&\ldots & a_{1n}(t)\\\vdots&\ddots &\vdots \\ a_{n1}(t)&\ldots &a_{nn}(t)\end{bmatrix},\hskip 0.3 pc f(t)= \begin{bmatrix} f_1(t)\\\vdots \\ f_n(t)\end{bmatrix},\hskip 0.3 pc x_0= \begin{bmatrix} x_{01}\\ \vdots \\x_{0n}\end{bmatrix}, \)

układ ( 1 ) można zapisać w postaci

(3)

\( x^\prime(t)=A(t)x(t)+f(t), \)

a warunek początkowy ( 2 )

(4)

\( x(t_0)=x_0. \)

Twierdzenie 1: o istnieniu i jednoznaczności

Jeżeli \( \hskip 0.3pc A(t),\hskip 0.3 pc f(t)\hskip 0.3pc \) są ciągłe w \( \hskip 0.3pc I\times \mathbb{R}^n,\hskip 0.3pc \) to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) układu ( 1 ) określone w całym przedziale \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) i spełniające warunek początkowy ( 2 ).

Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w module "Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych".

Uwaga 1:

Twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 1 o istnieniu i jednoznaczności dla układów równań. Istotna różnica między twierdzeniami jest taka, że w twierdzeniu ogólniejszym rozwiązanie istnieje w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) a w przypadku układu równań liniowych istnieje i jest określone na całym przedziale \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \).

Struktura zbioru rozwiązań układu jednorodnego:

(5)

\( x^\prime(t)=A(t)x(t), \hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc t\in I. \)

Niech

\( V=\{x(t):\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc x^\prime(t)=A(t)x(t),\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc t\in I\} \)

będzie zbiorem wszystkich rozwiązań układu \( \hskip 0.3pc (5)\hskip 0.3pc \).

Twierdzenie 2:

TEZA:

Zbiór wszystkich rozwiązań układu ( 5 ) jest przestrzeń wektorową \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-wymiarową nad zbiorem liczb rzeczywistych.

DOWÓD:

Niech

\( x_1(t)= \begin{bmatrix} x_{11}(t)\\\vdots \\x_{1n}(t)\end{bmatrix},\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc x_2(t)= \begin{bmatrix} x_{21}(t)\\\vdots \\ x_{2n}(t)\end{bmatrix} \)

będą dowolnymi rozwiązaniami układu ( 5 ) i \( \hskip 0.3pc \lambda _1,\hskip 0.3 pc \lambda_2\hskip 0.3pc \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Korzystając z własności pochodnej dostajemy następującą tożsamość:

\( \left(\lambda_1x_1(t)+\lambda_2x_2(t)\right)^\prime=\lambda_1x_1^\prime(t)+ \lambda_2x_2^\prime(t)=A(t)\left(\lambda_1x_1(t)+\lambda_2x_2(t)\right) \)

więc \( \hskip 0.3pc \lambda_1x_1(t)+\lambda_2x_2(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem układu ( 5 ).
Zatem zbiór \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) jest przestrzenią wektorową nad ciałem \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \).
Pokażemy teraz, że wymiar przestrzeni \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) jest \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \). Niech \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) będzie dowolnym ustalonym punktem przedziału \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \).
Definiujemy odwzorowanie liniowe \( \hskip 0.3pc L \)

\( L:V \ni x\rightarrow x(t_0)\in \mathbb{R}^n. \)

Pokażemy, że odwzorowanie \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest izomorfizmem.
Istotnie

\( \ker L=\{x(t)\in V:\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc x(t_0)=0\}=\{0\} \)

wynika to z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań układów równań, ponieważ funkcja tożsamościowo równa zero jest rozwiązaniem układu ( 5 ) i spełnia warunek początkowy \( \hskip 0.3pc x(t_0)=0\hskip 0.3pc \).
Zatem odwzorowanie \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest różnowartościowe.
Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wynika, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x_0\in \mathbb{R}^n\hskip 0.3pc \) istnieje \( \hskip 0.3pc x\in V\hskip 0.3pc \) takie, że \( \hskip 0.3pc x(t_0)=x_0\hskip 0.3pc \).
Stąd wynika, że \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest odwzorowaniem na zbiór i kończy to dowód, że \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest izomorfizmem.

Ponieważ przestrzenie izomorficzne maja ten sam wymiar, więc \( \hskip 0.3pc \dim V=\dim \mathbb{R}^n=n.\hskip 0.3pc \)

Definicja 5:

Dowolną bazę \( \hskip 0.3pc x_1(t),\ldots, x_n(t)\hskip 0.3pc \) przestrzeni \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) będziemy nazywać układem fundamentalnym dla równania ( 5 ).

Uwaga 2:

Jeżeli \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem układu ( 5 ) i \( \hskip 0.3pc x_1(t),\ldots, x_n(t)\hskip 0.3pc \) jest układem fundamentalnym dla układu ( 5 ) to istnieją liczby rzeczywiste \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots, c_n\hskip 0.3pc \) takie, że

\( x(t)=c_1x_1(t)+\cdots +c_nx_n(t). \)

Uwaga 3:

Jeżeli funkcje

\( x_1(t)=\begin{bmatrix} x_{11}(t)\\\vdots \\x_{1n}(t)\end{bmatrix},\hskip 0.8 pc x_2(t)=\begin{bmatrix} x_{21}(t)\\ \vdots\\x_{2n}(t) \end{bmatrix},\hskip 0.3 pc \ldots,\hskip 0.3 pc x_n(t)=\begin{bmatrix} x_{n1}(t)\\ \vdots \\x_{nn}(t)\end{bmatrix} \)

stanowią układ fundamentalny dla równania \( \hskip 0.3pc (5),\hskip 0.3pc \) to

\( \begin{vmatrix} x_{11}(t)& x_{12}(t)&\ldots &x_{1n}(t)\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\x_{n1}(t)& x_{n2}(t)&\ldots &x_{nn}(t)\end{vmatrix}\neq 0 \hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc {\rm dla \hskip 0.3 pc każdego}\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc t\in I. \)

Definicja 6:

Jeżeli \( \hskip 0.3pc x_1(t),\ldots, x_n(t)\hskip 0.3pc \) jest układem fundamentalnym dla układu \( \hskip 0.3pc (5),\hskip 0.3pc \) to macierz

\( X(t)=\begin{bmatrix} x_{11}(t)& x_{12}(t)&\ldots &x_{1n}(t)\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ x_{n1}(t)& x_{n2}(t)&\ldots &x_{nn}(t) \end{bmatrix} \)

nazywamy macierzą fundamentalną i spełnia ona równanie macierzowe

\( X^\prime(t)=A(t)\cdot X(t). \)

Podamy teraz jak wyznacza się rozwiązanie układu niejednorodnego ( 3 ) gdy znamy już układ fundamentalny rozwiązań układu jednorodnego ( 5 ).

Twierdzenie 3:

TEZA:

Niech \( \hskip 0.3pc X(t)\hskip 0.3pc \) będzie macierzą fundamentalną układu jednorodnego ( 5 ) to rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego ( 3 ) jest postaci

(6)

\( x(t)=X(t)\cdot C+X(t)\cdot \int X^{-1}(t)\cdot f(t)dt \)

gdzie \( \hskip 0.3pc C=[c_1,\ldots ,c_n]^{T}\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots ,c_n\hskip 0.3pc \)- są dowolnymi stałymi i \( \hskip 0.3pc X^{-1}(t)\hskip 0.3pc \) oznacza macierz odwrotną do macierzy \( \hskip 0.3pc X(t)\hskip 0.3pc \).
Natomiast rozwiązanie układu ( 3 ) spełniające warunek początkowy ( 4 ) jest postaci

(7)

\( x(t)=X(t)\cdot \left( X^{-1}(t_0)\cdot x_0+ \int_{t_0}^t X^{-1}(s)\cdot f(s)ds\right). \)

DOWÓD:

Niech \( \hskip 0.3pc X(t)\hskip 0.3pc \) będzie macierzą fundamentalną układu ( 5 ). Z uwagi 2 mamy, że dla dowolnego rozwiązania \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) układu ( 5 ) istnieje macierz \( \hskip 0.3pc C\hskip 0.3pc \) taka, że

\( x(t)=X(t)\cdot C. \)

Rozwiązania równania ( 3 ) szukamy metodą uzmienniania stałej \( \hskip 0.3pc C,\hskip 0.3pc \) to znaczy że \( \hskip 0.3pc C\hskip 0.3pc \) traktujemy jako funkcię zmiennej \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \)

(8)

\( x(t)=X(t)\cdot C(t). \)

Różniczkując powyższą równość otrzymujemy

(9)

\( x^\prime(t)=X^\prime(t)\cdot C(t)+X(t)\cdot C^\prime(t). \)

Podstawiając teraz ( 8 ) i ( 9 ) do równania ( 3 ) otrzymujemy

(10)

\( X^\prime(t)\cdot C(t)+X(t)\cdot C^\prime(t)=A(t)\cdot X(t)\cdot C(t)+f(t). \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc X^\prime(t)=A(t)\cdot X(t)\hskip 0.3pc \) więc z ( 10 ) mamy, że

\( X(t)\cdot C^\prime(t)=f(t). \)

Z uwagi 3 wynika, że macierz \( \hskip 0.3pc X(t)\hskip 0.3pc \) jest odwracalna dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I,\hskip 0.3pc \) więc z powyższej równości otrzymujemy

(11)

\( C^\prime(t)=X^{-1}(t)\cdot f(t). \)

Całkując obustronnie powyższą równość ze względu na \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) dostajemy, że

\( C(t)=\int X^{-1}(t)\cdot f(t)dt+C,\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc {\rm gdzie}\hskip 0.3 pc \hskip 0.3 pc C=\begin{bmatrix} c_1\\\vdots \\c_n\end{bmatrix}. \)

Podstawiając prawą stronę powyższej równości do równania ( 8 ) otrzymamy równość ( 6 ).
Jeżeli uwzględniamy warunek początkowy, to całkujemy obustronnie równanie ( 11 ) od \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) do \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i dostajemy

\( C(t)-C(t_0)=\int_{t_0}^t X^{-1}(s)\cdot f(s)ds. \)

Podstawiając wyliczone \( \hskip 0.3pc C(t)\hskip 0.3pc \) do równania ( 8 ) otrzymamy

(12)

\( x(t)=X(t)\cdot C(t_0)+X(t)\cdot \int _{t_0}^t X^{-1}(s)\cdot f(s)ds. \)

Ponieważ

\( x_0=x(t_0)=X(t_0)\cdot C(t_0), \)

więc

\( C(t_0)=X^{-1}(t_0)\cdot x_0. \)

Stąd i ( 12 ) dostajemy równość ( 7 ) i kończy to dowód twierdzenia.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Układy równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego

Definicja 1:

Definicja 2:

Definicja 3:

Definicja 4:

Twierdzenie 1: o istnieniu i jednoznaczności

Uwaga 1:

Twierdzenie 2:

TEZA:

DOWÓD:

Definicja 5:

Uwaga 2:

Uwaga 3:

Definicja 6:

Twierdzenie 3:

TEZA:

DOWÓD: